擬似逆行列の話 - manvaのエンジニアリング魂

ペンローズがノーベル賞を受賞したので、ロボットの制御にも使われる、ムーア•ペンローズの擬似逆行列の話を書いておく。用語はあまり統一されておらず、擬似逆行列(pseudo inverse)ではなく一般化逆行列(generalized inverse)と呼んだり，ムーア•ペンローズの逆行列(Moore-Penrose inverse)を略してMP逆行列(M-P inverse)と呼ぶ場合もある。

擬似逆行列については，↓の解説がわかりやすい。

【解説】一般逆行列www.slideshare.net

以下は，ロボット工学に関連するところのみ紹介する。

広義の擬似逆行列は、ある行列 $A$ に対して、
$A=AA^{\# }A$
を満たす $A^{\# }$ のことを指す。
広義の擬似逆行列は、一通りではなく、無数にある。ムーア•ペンローズの擬似逆行列もそのうちの一つなのだが、ロボット工学では、ムーア•ペンローズの擬似逆行列のことを単に擬似逆行列と呼ぶ場合が多い。例えば，ロボット工学の教科書として有名な吉川の「ロボット制御基礎論」

ロボット制御基礎論 (コンピュータ制御機械システムシリーズ)

作者:恒夫, 吉川
発売日: 1988/11/25
メディア: 単行本

で、「擬似逆行列は一意」とあるが、これはムーア•ペンローズの擬似逆行列のことを指している。ムーア•ペンローズの擬似逆行列は一意に決まる。

ロボット工学では、擬似逆行列は，直交座標系と関節座標系の変換に使われる。直交座標系は，XYZの並進3自由度+姿勢角3自由度の計6自由度なので，関節の数も6個なら普通の逆行列で良いが、7個以上だと擬似逆行列を用いることになる。制御したい自由度より関節の数が多いロボットは「冗長ロボット」と呼ばれる。
関節角度の微小変化量 $\delta q$ から直交座標系の手先位置の微小変化量 $\delta x$ を求める式は，ヤコビ行列 $J$ を用いて
$\delta x=J\delta q$ 　　‥(1)
と表される。冗長ロボットでは，ヤコビ行列 $J$ は横長の行列となる。
この場合のムーア•ペンローズの擬似逆行列(狭義の擬似逆行列)は
$J^{+}=J^{T}\left( JJ^{T}\right) ^{-1}$

であり，

$\delta q=J^{+}\delta x$

として関節角度の微小変化量 $\delta q$ を求めると，手先位置の微小変化量が $\delta x$ となるような $\delta q$ のうち，各要素の２乗和が最小になるような $\delta q$ が求められることが知られている。これはロボットにとっては無理のない姿勢になりやすいので特別な事情がなければとりあえずこれを使っておけばよい。

広義の擬似逆行列 $J^{\#}$ を用いると，
- 直交座標系の手先位置の微小変化量 $\delta x$ から関節角度の微小変化量 $\delta q$ を求める一般式は
$\delta q=J^{\# }\delta x+( I-J^{\# }J) \delta q_{0}$
- 直交座標系の手先力 $F$ から関節トルク $\tau$ を求める一般式は
$\tau =J^{T}F+\left( I-J^{T}J^{T\# }\right) \tau _{0}$ 　　‥(2)
で表される。 $\delta q_{0}$ や $\tau_{0}$ は任意(何でも成り立つ)なので、第2条件を付けられる。 $\tau_{0}$ を零空間トルク(null space torque)と呼ぶ。